dimanche 18 décembre 2016

Triangles égaux, triangles semblables


Chers amis,

je me permets de vous transmettre un article d'Alexandre Carret :


--- Citation ---
Comme je n'hésite pas à interpréter librement les programmes (grâce à mon bouclier de liberté pédagogique), je fais de grands arrêts sur la notion de démonstration géométrique :

en particulier, j'insiste dans un premier temps sur les arrières-plans mentaux - la vision du monde - construits et discutés par les hommes  (depuis les grecs pour faire simple) et qui les a conduit à entrevoir les notions de cause, de conséquence, de syllogisme, de science,  d'expérience, etc. (par exemple, je leur dis que nous ne discuterons jamais du "beau" en mathématiques.


D'une part parce qu'il s'agit d'une  catégorie mal définie, socialement, culturellement et temporellement  variable et d'autre part qu'il ne s'agit pas d'une catégorie à travers laquelle le mathématicien pense le monde (heureusement, nous ne sommes pas que mathématiciens) : je décroche alors des murs de ma salle "Cygnes se reflétant en éléphants" et "Drawing hands" pour leur expliquer ce qui m'intéresse dans ces œuvres tout en étant persuadé que leur professeur d'arts plastiques leur en parlerait bien autrement (1)).




Par conséquent, j'oriente tout mon discours sur la géométrie autour de l'idée que tout théorème est démontrable sauf les tout premiers que l'on appelle postulats :


Je dois un grand merci à Philippe Colliard de m'avoir ouvert les yeux sur cette liste et dans son livre sur le fait que nous n'avions pas, au collège, à être jusqu’au-boutiste (chercher le minimum de postulats à poser pour démontrer nos théorèmes) et qu'au contraire poser des postulats forts (comme les égalités de triangles) tout en disant qu'un jour peut-être, dans quelques années, on réfléchirait à construire le plus petit noyau de postulats.


Cette découverte m'a libéré : je ne cherchais plus, en mathématicien, à réduire le nombre des postulats mais en prof de collège à trouver le noyau de postulats suffisant pour ne pas avoir à rentrer dans des considérations difficiles (voire contestables : certaines démonstrations d'Euclide ont fait l'objet de nombreux commentaires à travers les siècles).


Les égalités de triangles sont depuis lors omniprésentes dans mon discours (par exemple, pour démontrer dans les deux sens la relation entre symétrie centrale et parallélogramme - alors qu'avant, avec mes petits postulats euclidiens, je passais vite là-dessus car la montagne me semblait bien trop haute à franchir pour mes élèves).


Je précise que, la plupart du temps, ces démonstrations sont exposées à l'oral, parfois écrites dans le cahier et rarement, je leur demande de me les reformuler. Elles servent plutôt à construire le récit que je tente de leur exposer sur la nature et la structure des résultats géométriques avec lesquels il faut se familiariser au collège.

A eux, je ne demande que des démonstrations plus simples car paradoxalement, ces théorèmes-postulats, bien que premiers dans la théorie, sont difficiles à utiliser dans des démonstrations en autonomie (contrairement, par exemple, au théorème "les diagonales d'un losange sont perpendiculaires" dont l'intuition est forte chez les élèves et l'usage dans les démonstrations relativement aisé - alors même que la démonstration que je leur en propose s'appuie sur des égalités de triangles).


Amicalement,
-- 

Alexandre Carret.


(1) Non merci, pas d'EPI là-dessus non plus !

--- Fin de citation ---

Merci encore une fois à Alexandre Carret, qui a exprimé (plus habilement que moi) ce que je pensais sur ce sujet.

P.S. Roland Dassonval a publié une démonstration intéressante du théorème de Ptolémée

--- Citation ---

--- Fin de citation ---

P.P.S. Mes sincères condoléances à la famille et aux amis de Rudolf Bkouche, qui a passé beaucoup de temps de sa retraite à discuter avec des profs sur Internet pour améliorer l'enseignement des mathématiques.


Amicalement,

-- 
Mathieu Morinière.

dimanche 18 septembre 2016

Bis repetita placent : VOTEZ !


La première fois que je vous ai parlé du prix Tangente,
c'était le 15 septembre 2014 … Et c'était très intéressé :


La deuxième fois, c'était en novembre (2014, toujours !) :


La troisième fois, c'était l'an dernier... Et avec un immense plaisir :


Le moment est venu d'une quatrième intervention :)

Mais peut-être ne connaissez-vous toujours pas les éditions Pole,
le magazine Tangente - ou son petit frère, Tangente éducation ?

Permettez-moi de reprendre ici quelques mots de mon article de septembre 2014 :

flânez sur leur site, découvrez le portail http://www.infinimath.com/ .

Les éditions Pole sont une mine d'or pour les professeurs comme pour les élèves.
Elles sont uniques, incontournables !

Et chaque année, elles décernent un prix, le « prix Tangente », à l'un des livres parlant de mathématiques et jugé digne, au cours de l'année écoulée, d'une « note de lecture » dans Tangente ou dans Tangente éducation.

Le Prix Tangente :
un premier vote, par tous les internautes qui le désirent (et qui acceptent de s’inscrire : ça prend 2 minutes et c’est gratuit), pour déterminer les « nominés »...
Puis un jury de personnalités pour le choix final.

S'il vous plaît, inscrivez-vous... S'il vous plaît, votez !

… Depuis 2014, le prix Tangente a fait des petits,
mais les éditions Pole vous l'expliqueront mieux que moi :


Alors... Votez :


Merci de votre fidélité à ce blog, et peut-être à bientôt

Philippe Colliard

jeudi 15 septembre 2016

Somme des cubes

On peut démontrer (par récurrence, niveau Terminale S) l'égalité suivante,
vraie pour tout entier n :




Une preuve sans mots de cette égalité a été proposée en 1984 par Solomon Colomb :


la "preuve sans mots", pour  n = 4 ...

... Et maintenant, tout de même, quelques mots d'éclaircissement :


     le rang supérieur du dessin est constitué de 4 carrés, dont les côtés mesurent (de gauche à droite) 1 unité de longueur, puis 2, puis 3 et enfin 4.
Appelons "carré 1", "carré 2" , "carré 3" et carré 4" ces 4 carrés, dans cet ordre.
Les aires de ces carrés sont donc les carrés de 1 , 2 , 3 et 4.

L'astuce de la preuve consiste à décomposer le grand carré (dont le côté mesure  1+2+3+4 unités de longueur - et dont l'aire est donc le carré de cette mesure) en un ensemble de surfaces adjacentes dont la somme des aires est  
1x(aire carré 1) + 2x(aire carré 2) + 3x(aire carré 3) + 4x(aire carré 4)
 ... C'est à dire la somme des cubes de  1 , 2 , 3 et 4 !

Pour les "carrés impairs"  (carré 1 et carré 3), aucune difficulté, et vous voyez bien apparaître 
1 "carré 1" et 3 "carrés 3" (le 2ème sous le 1er, le 3ème à gauche du 2ème).

Pour les "carrés pairs", une petite manipulation est nécessaire  : le 2ème "carré 2" est décalé d'un cran en dessous et à gauche du 1er, et le 3ème "carré 4" de 2 crans en dessous et à gauche du 2ème (alors que, comme pour les carrés impairs, le 2ème "carré 4" est juste en dessous du 1er, et le 4ème juste à gauche du 3ème).
Les 2 "carrés 2" recouvrent donc 2 fois une même surface carré  (d'une unité de côté),
et les 2ème et 3ème "carrés 4" également (de deux unités de côté).

Mais il suffit d'imaginer  qu'on "fait glisser" la surface en trop suivant la diagonale descendante (vers le bas et la droite) d'un cran pour les "carrés 2" et de 2 crans pour les "carrés 4" pour combler les 2 trous qui restaient dans le grand carré... Et le tour est joué !

Joli, non ?

Sans commentaires, maintenant,  pour  n = 6  :

Comme la construction géométrique suit le même schéma, elle pourra être appliquée à n'importe quel entier positif non nul !


(Source : "Jeux mathématiques et mathématiques des jeux", Jean-Paul Delahaye, Pour la Science)
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Philippe Colliard et Mathieu Morinière

samedi 10 septembre 2016

Paradoxe en probabilités

Problème : Dans le jeu très connu "Qui veut gagner des millions ?", une des questions aurait pu être celle que l'on peut lire sur l'image de gauche.






Solution : Que veut dire "choisir" et "une réponse au hasard" ? 

On va admettre que "choisir au hasard" signifie qu'on lance un dé tétraédrique (une pyramide à 4 faces triangulaires, marquées A, B, C et D) et que l'on "choisit" la réponse que nous indique le dé.

Quelle est alors la probabilité alors d'avoir donné la bonne réponse à la question ?

En général, à ce jeu, il n'y a qu'une seule bonne réponse sur les 4, donc la probabilité devrait être de 25%.

Or, sur l'image, il y a deux réponses identiques égales à 25 %. On est donc dans un cas particulier où il y a deux bonnes réponses sur les 4, et la probabilité d'obtenir la bonne réponse est finalement de 50 %, qui est justement une des 4 réponses proposées !

Mais alors, il y a une seule bonne réponse sur les 4 : 50 %, donc la probabilité d'obtenir la bonne réponse redevient 25 %. Etc...

Ceci s'appelle, en mathématiques, un paradoxe : il semble qu'il y ait deux bonnes réponses incompatibles à ce problème, ce que les mathématiciens appellent "Un problème mal posé".

Il fait partie d'une grande famille de paradoxes, que l'on appelle "l'auto-référence". Un autre exemple : la phrase  "Je mens" est-elle vraie ou fausse ?

Si elle est vraie, je mens, mais si je mens, elle est fausse... Mais si elle est fausse, je dis la vérité, donc je mens, etc...

On sort de certains paradoxes en reformulant la question. Le contraire de "Je mens toujours" est "Je dis parfois la vérité", ce qui rend le problème plus clair.

Pour revenir au problème de départ, je dirais que la question n'a aucune réponse possible, et heureusement que 0% n'est pas une des 4 réponses proposées, car sinon, on aurait 25% de chances de trouver la bonne réponse, et on ne serait pas sorti de l'auberge.

Si le problème proposait 2 réponses à 25 % et deux réponses à 50 %, alors la bonne réponse serait 50%, et le paradoxe disparaitrait.

D'autres exemples de paradoxes que les mathématiciens ont décidé d'exclure des mathématiques, car "mal formulés" : "Le plus petit nombre entier que l'on peut définir à l'aide de au moins vingt-deux mots" : ce nombre n'existe pas car on vient de le définir en 19 mots.

Ou encore : "L'ensemble de tous les ensembles" existe-t-il ? Non, car il serait à la fois un ensemble et un élément de cet ensemble, ce qui contredit la relation d'ordre d'inclusion parmi les ensembles.

Pour aller plus loin, lisez "Logicomix", la bande dessinée qui retrace la crise des fondements de la logique qui a eu lieu il y a une centaine d'années, entre Bertrand Russel, Georg Cantor, Kurt Gödel et d'autres grands logiciens qui on voulu ré-écrire les axiomes de la logique, et qui sont tombés de manière inattendue sur de redoutables paradoxes, qui ont contredit la certitude de Hilbert : "Nous devons tout savoir, nous allons tout savoir".
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Mathieu Morinière

lundi 5 septembre 2016

Les différences successives de puissances

dimanche 4 septembre 2016

L'équation du nénuphar

Une devinette assez connue : des nénuphars sur un lac occupent une surface qui double chaque jour : 1 m2, 2m2, 4m2, ... Ils finissent par couvrir la moitié du lac en 3 semaines. En combien de temps auront-ils couvert le lac entier ?



P.S. : durant les 70 dernières années (une vie humaine), la population mondiale a doublé, ainsi que les problèmes de nourriture, de pollution, etc... qui lui sont associés. Avec une croissance annuelle de quelques pourcents (un petit pourcentage) le temps de doublement est de 70 ans.




À lire : "L'équation du nénuphar", d'Albert Jacquard, chercheur, essayiste et spécialiste de génétique des populations.

 À lire, ou à relire (et non, il ne s'agit plus du tout de mathématiques) : "L'Écume des jours", de Boris Vian... Pour apprendre à détester les nénuphars et leur croissance.
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Mathieu Morinière