mercredi 23 avril 2014

Une histoire d'infinis

A tale of two infinities, Both a like in dignity… (Shakespeare, Roméo et Juliette - ou presque !)


Deux infinis, tous deux respectables... 
Mais l'un des deux est immensément plus vaste que l'autre!

Le premier infini, le « petit », est celui de l'ensemble des nombres entiers naturels : ceux qui depuis des milliers d'années, servent à compter.

Les mathématiciens considèrent qu’il y a ℵ0 nombres entiers naturels ( « ℵ » est la première lettre de l'alphabet hébreu et « ℵ0 » se lit « aleph-zéro » )... ℵ0 n'est bien sûr pas lui-même un entier naturel, même s'il sert à les 
« compter » : il n'existe pas d'entier naturel « ultime », plus grand que tous les autres. ℵ0 est le « plus petit des nombres infinis ». 
Plutôt que « il y a ℵ0 nombres entiers naturels », les mathématiciens disent « le cardinal de l'ensemble des entiers naturels est ℵ0 » ! 

Mais c'est également celui des nombres entiers relatifs :
                                                 les entiers naturels ET leurs opposés...

C'est encore celui des nombres décimaux (les positifs et les négatifs)...
Et c'est toujours celui des nombres rationnels (les fractions - positives et négatives).

Oui, c'est le même infini, ou, pour le dire autrement : il y a exactement autant d'entiers naturels que d'entiers relatifs, de nombres décimaux ou de nombres rationnels !

Ce n'est évidemment pas évident : le « simple bon sens » nous dit que, puisque les entiers sont des fractions particulières (celles dont, sous forme irréductible, le dénominateur est 1), et puisqu'il y a beaucoup d'autres fractions, il doit y avoir bien plus de fractions que de nombres entiers naturels.

Mais le simple bon sens se trompe - ou nous trompe - tout comme il nous trompe lorsque nous croyons qu'un grand segment a plus de points qu'un petit...
tout repose sur le sens du mot « autant ».

Le second infini, le « grand », est celui de l'ensemble des nombres réels...

Et non, ce n'est pas le même que l'autre infini : les mathématiciens considèrent qu’il y a 1  
(« aleph-un ») nombres réels… 

Ou, pour être exact, ils considèrent que, si on accepte « l'hypothèse du continu », il y a 1 nombres réels... Ils préfèrent dire que le cardinal de l'ensemble des nombres réels est 1 ! 

(Appliquée à l'ensemble des entiers naturels et à celui des nombres réels, « L'hypothèse du continu » affirme qu'il n'existe pas d'ensemble dont le cardinal est « coincé » entre celui du premier ensemble et celui du second : strictement supérieur au premier et strictement inférieur au second...
Pourquoi « hypothèse » ? Parce que, tout comme la géométrie, les ensembles de nombres s'étudient à partir d'axiomes...
Et personne, à partir des axiomes utilisés actuellement - anticipés par Georg Cantor puis formalisés par Ernst Zermelo et Abraham Fraenkel, ne peut prouver que cette affirmation est vraie, ni d'ailleurs qu'elle est fausse : elle est «indécidable». Peut-être y verra-t-on un jour un axiome ?).


En cliquant sur « ébauches, servez-vous » , puis sur « deux infinis », vous accéderez à un petit fichier de deux pages : la première page illustre une démonstration classique du fait qu'il y a autant de nombres rationnels que d'entiers naturels.

La deuxième page illustre la démonstration tout aussi classique (la « diagonale » imaginée par Georg Cantor) du fait qu’il y a plus de réels que d'entiers naturels.

Élèves, parents, collègues ou passants qui passent, ces pages sont à votre disposition,
sous licence « Creative Commons ». 

N'hésitez pas à les utiliser si elles vous plaisent...
Ni à laisser des commentaires ici, agréables ou non. 

À bientôt,

Philippe Colliard.


lundi 14 avril 2014

Qu'est-ce qu'une construction axiomatique de la géométrie ?



Les définitions d'un point et d'une ligne (dans un dictionnaire non mathématique) sont :

POINT : figure géométrique sans dimension : intersection de deux lignes.
LIGNE : figure qui peut être matérialisée par un fil assez fin. Un point qui se déplace engendre une ligne.

On voit que ces deux définitions forment un cercle vicieux : chacune d'entre elles a besoin de l'autre pour définir ces deux objets.

Dans un dictionnaire mathématique, on apprend qu'un point, selon Euclide, est ce qui n'a aucune partie. On peut aussi dire plus simplement qu'un point ne désigne pas un objet mais un emplacement. Il n'a donc aucune dimension, longueur, largeur, épaisseur, volume ou aire. Sa seule caractéristique est sa position. On dit parfois qu'il est « infiniment petit ».

Un point n'a donc pas de définition mathématique rigoureuse, c'est un objet intuitif, à partir duquel on construit tous les autres objets de la géométrie euclidienne, et à l'aide d'une vingtaine d'axiomes (qui sont des énoncés non démontrables) on démontre des millions de  théorèmes de la géométrie.

On savait depuis Euclide et Hilbert que l'on pouvait - en théorie - écrire toute la géométrie de collège à partir des axiomes, mais on savait également combien l'entreprise était délicate, et jusqu'au "... Donc, d'après...", de Philippe Colliard, personne, à ma connaissance, ne s'y était encore risqué.

Ce livre a été écrit avec la volonté de concevoir un ouvrage lisible aussi bien par des collégiens - ou par des parents - motivés que par des professeurs. Dans cet esprit, Philippe Colliard a adjoint aux axiomes de Hilbert quelques "axiomes physiques" (l'un de ses lecteurs les a appelés des "axiomes pédagogiques"), constituant un ensemble de 24 "métaxiomes" sur lesquels repose toute sa construction.

Pourquoi lire ce livre ? Pour découvrir la cohérence des mathématiques que l'on ne trouve pas dans les manuels scolaires de collège.

Mathieu Morinière.

dimanche 6 avril 2014

[Problème ouvert] un carré inscrit dans un triangle rectangle isocèle

Soit un triangle rectangle et isocèle dont le côté de l'angle droit mesure 6 cm.
On a prouvé dans un article récent que l'on pouvait construire avec précision un carré inscrit dans ce triangle, dont un des côtés est sur l'hypoténuse, et dont les deux autres sommets sont sur les côtés de l'angle droit.

Quelle est l'aire de ce carré ?

(Dans les commentaires, il y a des indications pour le résoudre, de plusieurs manières possibles).

Mathieu Morinière
(Merci à GeoGebra)