lundi 24 février 2014

Une expérience vécue : la découverte des nombres relatifs en cinquième

Réfrigéré par les sempiternels thermomètres, épuisé par de longues marches le long de la droite des réels, gagné par le mal de mer après de nombreux yo-yos en ascenseurs et reculant d'horreur devant une horde de comptes chèques débiteurs, j'ai tenté, en 2001, une approche différente des nombres négatifs... 13 ans plus tard, je continue à l'appliquer : elle
« marche » toujours aussi bien !
Non, bien sûr, elle n'est pas parfaite. Et, pour une fois, ce n'est pas une « construction » : tout au fond de moi, une petite voix me souffle que si, si, des élèves de cinquième pourraient s'intéresser au « quotientage » de NxN par une relation d'équivalence bien choisie, mais je ne l'écoute pas ! Lorsque j'ai commencé à enseigner, peut-être... Je n'en suis même pas certain, et de toute façon, c'était il y a 40 ans !


Alors ?
Alors, j'ai choisi les ballons. Ça m'a donné l'occasion de faire de la « polydiscipline », bref, de faire découvrir aux élèves que les montgolfières et les ballons étaient des inventions relativement récentes, que nous vivions au fond d'un océan d'air, que des bulles d'air chaud ou de gaz légers 
« cherchaient » à monter à la surface de cet océan - tout comme des bulles d'air, lâchées au fond d'une piscine, montent à sa surface, d'évoquer Archimède...

 Ça m'a même permis, vers 2005, d'animer un IdD (itinéraire de découvertes) d'un trimestre, durant lequel les participants ont construit une machine à ajouter des relatifs - à partir de quelques tiges d'acier, de bobines de fil, de poulies et de masses en résine durcie. Au moins, cette année-là, les heures d’IdD n'ont pas été entièrement perdues pour les maths !

Tout commence par une égalité, écrite au tableau :  2 + 3 = 5 … Et une énigme :)
Bon, je ne vais pas vous imposer une longue dissertation… Sans parler de dessins un peu compliqués pour ce blog. 

J'ai publié les feuilles que je distribue à mes élèves après deux ou trois séances de réflexion en commun.

Si vous pensez que cela peut vous intéresser,
cliquez sur "ébauches : servez-vous"... Puis descendez tout en bas du tableau !

Lisez, imaginez la progression en cours, le côté gentiment théâtral et les interventions des élèves... Tout ce qui n'apparaît pas dans ces feuilles de synthèse.
Imaginez également, si vous le voulez bien, combien cette présentation m'a facilité, très rapidement ensuite, l'introduction de la valeur absolue - quel que soit le nom dont on l'affuble maintenant - et de l'addition entre relatifs.

Et... Servez-vous, si vous vous sentez des atomes crochus avec cette approche !

Comme indiqué en haut de la première des trois pages, elles sont publiées sous licence
« Creative Commons BY/NC/SA», c'est-à-dire à diffusion non commerciale libre, mais sous la même licence,contenu modifiable - à l'exception des lignes de "propriété" (lignes au-dessus du logo). (Tous les renseignements sur le site de Creative Commons).

Ce serait bien que, dans la partie commentaires, vous me fassiez part de vos réflexions,
remarques ou suggestions concernant ces feuilles.

Merci :)

Philippe Colliard.

mardi 11 février 2014

[Problème ouvert : Pólya] un triangle donné par angle, hauteur et périmètre

George Pólya : "How to solve it"

Cher lecteur,

je me permets de te tutoyer, car je vouvoie très rarement mes interlocuteurs.

Aujourd'hui je te propose de chercher un problème ouvert, (c'est-à-dire : dont la solution n'est pas facile à trouver).

Son énoncé est compréhensible en 6ème (en choisisant des valeurs particulières) mais son niveau est difficile (de la 3ème à la Terminale Scientifique) et il suppose plusieurs heures de recherche par essais-erreurs.

Énoncé du problème : construis un triangle, étant donnés la mesure d'un angle, la hauteur issue du sommet de cet angle et le périmètre du triangle.

Amicalement,
-- 
Mathieu Morinière.
(Merci à GeoGebra).


Quelques pistes (de George Pólya) :

1) On introduit des notations : soit α la mesure de l'angle A donné, la hauteur donnée issue de A et le périmètre donné. On dessine une figure dans laquelle nous plaçons α et h.

2) Avons-nous utilisé toutes les données ? Non, notre figure ne contient pas la longueur donnée p, égale au périmètre du triangle. Donc nous devons introduire p, mais comment ? On essaie de le faire de plusieurs manières. La première façon est maladroite. Pourquoi ? Car nous percevons qu'elle manque d'une certaine symétrie. Nous préférons donc la deuxième figure, plus symétrique.

3) En fait, le triangle a 3 inconnues : les longueurs des 3 côtés : a, b et c. On appelle a, comme d'habitude, la longueur du côté opposé à A. On sait que :  a + b + c = p.

4) Les côtés b et c jouent le même rôle, ils sont interchangeables. Notre problème est symétrique concernant b et c. Il ne l'aurait pas été si on avait fait une figure non "symétrique". On ajoute le segment [CD] de longueur b d'un côté et le segment [BF] de l'autre côté de longueur c, de manière que p apparaisse comme le segment [DF]  de longueur : b + a + c = p.

5) Si nous avons un peu d'expérience dans la résolution de problèmes de construction, nous ne manquerons pas d'introduire, en plus de [DF], les segments auxiliaires [AD] et [AF], qui sont chacun les bases de deux triangles isocèles. En fait, ce n'est pas déraisonnable d'introduire des éléments dans le problème qui sont particulièrement simples et familiers, comme des triangles isocèles.

6) Nous avons eu de la chance d'introduire nos segments auxiliaires. En examinant la figure, nous pouvons découvrir que l'angle EAD a une relation simple avec l'angle α. En fait, on trouve, en utilisant les triangles isocèles ABF et ACD que :
l'angle DAF vaut : α / 2 + 90º.

7) Après cette remarque, il est naturel d'essayer la construction de l'angle DAF. En essayant cette construction, nous introduisons un problème auxiliaire qui est bien plus facile que le problème de départ.

8) Les enseignants et auteurs de manuels ne devraient pas oublier que l'élève intelligent et LE LECTEUR INTELLIGENT ne sont pas satisfaits de vérifier les étapes d'un raisonnement correct, mais ils veulent également savoir les motivations et le but des différentes étapes.

L'introduction d'un élément auxiliaire est une étape suspicieuse. Si un élément auxiliaire apparaît abruptement dans une figure, sans aucune motivation, et résout le problème de manière surprenante, les élèves ou les lecteurs intelligents sont déçus, ils ont l'impression qu'ils ont été arnaqués.

Les mathématiques sont intéressantes à partir du moment où elles occupent notre raisonnement et nos facultés d'invention. Mais il n'y a rien à apprendre si la motivation et le but de l'étape la plus douteuse reste incompréhensible.

Rendre de telles étapes compréhensibles, par des remarques adéquates ou en posant des questions ou des suggestions soigneusement choisies, cela prend beaucoup de temps et d'efforts, mais cela peut en valoir la peine.

George Pólya ("How to solve it")

lundi 10 février 2014

Spécial profs: petit memento des définitions et théorèmes utilisés au collège

Chers collègues,

parmi les 155 définitions et les 205 théorèmes démontrés dans «... Donc, d'après... », un groupe de professeurs a fini par se mettre d'accord - après de longs et difficiles marchandages :) - sur 68 définitions et 84 théorèmes qui leur semblaient correspondre à ce qu'il était raisonnable d'attendre d'un élève en fin de troisième.

Il s'agit évidemment d'éléments étudiés tout au long de leur scolarité au collège, de la sixième à la troisième.


Ayant la chance de disposer d'imprimantes A3 recto-verso
- en utilisant la configuration A4 vers A3, et le mode impression en livret -
nous avons donc décidé de tirer un « livret théorèmes » et un « livret définitions »
de 4 pages A4 chacun (une feuille A3 recto-verso pliée en deux) pour chaque élève des troisièmes de nos collèges.

Ils seront à leur disposition pour les DM et pour certains contrôles :
nos élèves devront alors préciser les éléments dont ils se servent
(d'après T-26, ou d'après D-14…).

Notre but n'est bien sûr pas de remplacer des phrases par des numéros
(de surcroît, des numéros à signification très locale),
mais d'habituer nos élèves à construire des raisonnements... Et à citer leurs sources !

Nous avons également décidé de distribuer ces livrets aux élèves de quatrième :
nous allons cocher avec eux les éléments qu'ils ont déjà étudiés,
puis les laisser cocher peu à peu de nouveaux éléments.

Ces deux livrets sont à votre disposition.

Vous les trouverez en cliquant sur "compléments"... Puis sur "côté profs: servez-vous".

Alors, effectivement... Servez-vous, si le principe vous intéresse !


Comme indiqué en dernière page de chaque livret,
ils sont publiés sous licence « Creative Commons BY/NC/SA», c'est-à-dire à diffusion non commerciale libre, mais sous la même licence,contenu modifiable - à l'exception de la ligne de "propriété" (1ère ligne après le titre).
(Tous les renseignements sur le site de Creative Commons)

Ce serait bien que, dans la partie commentaires, vous nous fassiez part de vos réflexions,
remarques ou suggestions concernant ces livrets.

Merci :)

Philippe Colliard.