mercredi 29 janvier 2014

[Problème ouvert : Pólya] un carré inscrit dans un triangle

Soit un triangle
de dimensions 13 ; 14 et 15.

1º) Explique pourquoi il existe un carré inscrit dans ce triangle, tel qu'un côté de ce carré soit inclus dans le côté de longueur 14 et tel que les deux autres sommets soient "sur" les autres côtés du triangle.

2º) Construis ce carré (avec précision).
  
3º) Calcule la longueur (exacte) du côté de ce carré.

4º)  Yves C. propose une généralisation : en supposant maintenant que les côtés du triangle sont trois nombres : a ; b ; c, donnés, mais quelconques, il y a trois solutions pour le carré, en fonction du côté lu triangle qui porte le côté du carré.

Quelle est la solution qui donne la plus grande aire ?

Le plus grand côté, le plus petit, le moyen, ça dépend de la forme (acutangle ou obtusangle) ?

Pour le triangle rectangle c'est le plus grand côté, mais c'est dur à prouver dans les autres cas.

(N'hésite pas à poser des questions dans les commentaires :)...
Des indications pour résoudre ce problème y seront publiées).


Mathieu Morinière.
(Merci à GeoGebra).

[Exercice] rectangles et périmètres en 6ème

Des élèves de 6ème ont eu l'exercice suivant :


Exercice : Un rectangle a 20 cm de périmètre et sa longueur a 5cm de plus que sa largeur.

Quelles sont ses dimensions ?


Solution 1 : une élève a levé la main au bout de 10 secondes et a donné la réponse.
Je lui ai demandé comment elle avait fait. Elle m'a répondu :

"Si le rectangle était un carré, il aurait 5 cm de côté.
Il faut que sa longueur mesure 5cm de plus que sa largeur, donc je divise 5 cm par 2 (soit 2,5 cm)
puis je l'ajoute à la longueur du carré : 5 cm + 2,5 cm = 7,5 cm ;
puis je la soustrais à la largeur du carré : 5 cm - 2,5 cm = 2,5 cm".

Pourquoi a-t-elle divisé 5 cm par 2 ? Elle m'a répondu : "Si on ajoute 5 cm à la longueur et si on soustrait 5 cm à la largeur du carré, alors on obtient 10 cm et 0 cm, donc la différence entre les deux est de 10cm (et non de 5 cm)". 

Impressionnant, non ? 

Un autre élève de 6ème a proposé  :

Solution 2 : la longueur fait 5 cm de plus que la largeur : par exemple :
1er essai : 10 cm et 5 cm ; mais alors le périmètre est de 30 cm (et non de 20 cm).
2ème essai : 7 cm et 2 cm ont une différence de 5 cm, mais alors le périmètre est 18 cm.
3ème essai : 8 cm et 3 cm ont une différence de 5 cm, mais alors le périmètre est 22 cm.
4ème essai : 7,5 cm et 2,5 cm ont une différence de 5 cm, et le périmètre est 20 cm.


En 3ème après le chapitre sur les systèmes, un élève aurait écrit :
   
Solution 3 : appelons L la longueur et l la largeur du rectangle recherché.
2(L + l) = 20     donc        L + l = 10     donc       2 L = 15     donc     L = 7,5
L - l = 5                                   L - l = 5                       2 l = 5                    l = 2,5


En général, lorsqu'un mathématicien ne trouve pas la solution d'un problème, il essaie de l'approcher par une méthode d'essais-erreurs. S'il a de la chance, après de nombreuses heures (ou années) de recherche, il trouve une solution relativement plus simple que les autres et il la publie. Il ne publie en général pas ses brouillons, ce qui serait pourtant intéressant.

Mathieu Morinière.
(Merci à GeoGebra).

Les petites boîtes de Pete Seeger

Non, il ne s'agit pas de maths. Exceptionnellement.
Alors, pourquoi cet article, ici ?

Je n'ai pas de réponse absolue.

Peut-être parce l'absence de Pete Seeger me pèse.

Peut-être parce que je me retrouve dans son désir de voir le monde
sortir de la consommation et de la réplication sociale.

Peut-être parce que je vieillis.

Peut-être parce que la musique et les paroles de cette vidéo
me poursuivent depuis des décennies
(même si la vidéo, elle, est récente) !


 Ses chansons restent, mais Pete Seeger n'est plus.

Philippe Colliard

mercredi 1 janvier 2014

Formats

Un jour, mon professeur de dessin industriel a commencé son cours ainsi :

Vous savez tous que les dimensions d'une feuille de format A4 (une photocopie usuelle) sont de :

21 cm sur 21 x racine(2) cm.

Je me suis retourné, mais personne n'a souri. Je me suis demandé : "Pourquoi cette précision diabolique ? La connaissance de 21x29,7 n'est-elle pas suffisante ?"


L'intérêt de ce format précis est que pour agrandir une photocopie du format A4 en A3, il faut un pourcentage d'augmentation de 141% (racine(2)≈1,41), et pour réduire une photocopie du format A4 en A5, il faut un pourcentage de réduction de 71% (1/(racine(2))≈0,71).

Si les aires sont multipliées (ou divisées) par 2, alors les longueurs sont multipliées (ou divisées) par (racine de 2).

L'intérêt de ce format est de conserver le rapport (Longueur/Largeur)=(racine(2)) dans tous les agrandissements qui doublent l'aire du rectangle.

Ci-contre, on a une représentation à l'échelle du format A0 (le plus grand rectangle, d'aire 1 mètre carré), puis du format A1 (la moitié de A0), puis A2 (la moitié de A1), puis A3 (la moitié de A2), puis A4 (la moitié de A3), puis de A5 (la moitié de A4), puis de A6 (la moitié de A5), etc...

On remarque sur ce dessin que les quatrièmes sommets des rectangles coloriés (qui sont de formats A0, A2, A4 et A6) sont tous sur une même diagonale, alors que leurs 3 autres sommets sont sur le côté gauche ou celui du bas. Si on redressait verticalement les rectangles couchés (A1 ; A3 ; A5), on constaterait que c'est encore le cas.

Plus généralement (en utilisant le théorème de Thalès) on peut démontrer que les rectangles dont le quatrième sommet est sur cette diagonale et les trois autres sommets disposés de manière semblable aux précédents sont tous de la même forme  (c'est-à-dire : Longueur/Largeur=constante) mais seuls ceux qui sont dessinés ont une aire qui est le quart de celle du précédent rectangle (A2 est quart de A0 ; A4 est le quart de A2 ; A6 est le quart de A4, etc...).

Comment pourrait-on définir des parallélépipèdes de même forme? Par la diagonale commune (en rouge) ?

Dans le dessin ci-contre, le grand parallélépipède a un volume 8 fois plus grand que celui du petit (car pour passer du petit au grand, les longueurs ont été multipliées par 2) mais il suffirait de choisir un point précis de la diagonale commune (point que je vous laisse calculer) pour que le volume du petit soit multiplié par 2 pour obtenir le volume du grand.

En résumé, les imprimantes 3D peuvent reproduire des objets de mêmes formes à différentes échelles, (avec des coefficients d'agrandissement ou de réduction  faciles à calculer pour que les volumes soient multipliés ou divisés par 2). (Le dessin a été fait en perspective avec un point de fuite).

Mathieu Morinière.
(Merci à GeoGebra).