vendredi 27 décembre 2013

Une introduction aux vecteurs


Un professeur a introduit les vecteurs de la manière suivante :

Il y a une centaine d'années, pour remonter le courant d'une rivière, les péniches étaient tirées par des chevaux le long des berges, comme sur le dessin ci-contre.








Le segment en pointillés rouges représente une corde, et les flèches représentent les forces exercées par la corde sur la péniche et par les chevaux sur la corde.






Comment faire pour que la péniche ne se retrouve pas sur la berge ?







Première réponse : en mettant des chevaux des deux côtés de la rivière, comme sur ce deuxième dessin.

L'inconvénient de cette solution est qu'elle empêche d'autres bateaux de dépasser la péniche ou bien de redescendre la rivière.













Deuxième réponse : en tournant le gouvernail pour diriger la péniche vers la gauche (vers babord), on voit que la force appliquée par le centre du gouvernail sur l'eau est la même que sur le dessin nº2 par les chevaux de babord, mais appliquée à l'arrière (la poupe) de la péniche, donc la péniche va tout droit.
















Une application plus récente de ce principe s'applique pour le déplacement des kitesurfs, où les chevaux sont remplacés par une voile et le gouvernail par la planche en travers pour résister à la dérive.

Mathieu Morinière.
(Merci à GeoGebra).

mercredi 18 décembre 2013

Une diagonale d'un carré




Dans le quartier de Manhattan (New York), où beaucoup de rues sont perpendiculaires, vaut-il mieux zig-zaguer de manière très fréquente, ou bien vaut-il mieux parcourir deux côtés d'un carré, pour rejoindre deux points diagonalement opposés ?







Ou encore, sur le dessin du carré ABCD ci-contre, quadrillé en 16 petits carrés, le trajet de A à C en ne suivant que deux segments, [AB] puis [BC] est-il plus long - ou plus court - qu'en parcourant successivement les segments [AE], [EF], [FG], [GH], et enfin [HC] ?



La réponse ? 


EF = BL, FG = EK, GH = LC et HC = KB        donc :
AE+EF+FG+GH+HC  =  AE+FG HC+EF GH  =  AE+EK+KB + BL+LC  =  AB + BC.

Les deux trajets ont la même longueur, AB + BC !!!


Et si maintenant nous quadrillons le carré initial en 64 carrés (un échiquier), ou en 100 carrés (un damier)... Ou en 324 carrés (un goban) ?

Le raisonnement reste le même - avec simplement plus de points intermédiaires : 
les deux trajets ont toujours comme longueur AB + BC (le double de la longueur d'un côté du carré ABCD initial).

Là où ce résultat devient plus troublant, c'est lorsque nous commençons à utiliser des quadrillages vraiment très fins du carré initial, en séparant chaque côté non plus en 4, 8,10 ou 18 segments, mais en 1000, 10000, 1 million...

Alors le chemin qui traverse le carré semble peu à peu se confondre avec la diagonale de
ce carré, ce qui peut laisser supposer que la longueur de cette diagonale est AB + CD !

Mais le théorème de Pythagore - et, bien plus simplement, une mesure, même imprécise, de la longueur d'un côté et de celle de la diagonale - nous montre bien que ce n'est pas vrai... 

... Et nous rappelle qu'il faut se méfier de raisonnements insuffisamment approfondis:)

Ici, le défaut du « raisonnement » est que tous les triangles observés restent rectangles :
il n'y a pas « d'aplatissement » de ces triangles vers la diagonale, quel qu'en soit le nombre.

(Si leurs sommets sont de plus en plus proches de la diagonale lorsque le nombre de triangles grandit, ce n'est pas parce qu'il y a déformation des triangles, et lorsqu'on « zoome » sur une petite partie de la diagonale, on retrouve exactement la configuration initiale !)

Et heureusement que ce « raisonnement » est défaillant :

sinon, il permettrait, par exemple, de prouver que 4 est égal à 2 !!!

(Si [AB] mesurait 1 cm, AB + BC vaudrait 2 cm, et d’après ce « raisonnement », [AC] mesurerait donc 2 cm :
le carré de AB vaudrait 1 cm2 (1x1 = 1) et celui de AC vaudrait 4 cm2 (2x2 = 4) … Mais d’après le théorème de Pythagore, ce même carré de AC vaudrait également 2 cm2 !)

(Nous avons tenté ici de donner une interprétation géométrique de la fausseté de ce raisonnement. Il en existe une démonstration purement numérique, mais elle nécessite des connaissances de niveau bac +1).

P. S. Yves C. nous a fait remarquer que la surface comprise entre le chemin et la diagonale se rapproche effectivement de 0, alors que le périmètre reste constant. (Ce phénomène se retrouve dans d'autres situations de niveau lycée).
.. 
Philippe Colliard et Mathieu Morinière




dimanche 1 décembre 2013

Un segment a-t-il plus de points qu'une droite ?

Nous allons ranger par paires distinctes les points d'une droite (AB) et ceux d'un segment [GH] (non perpendiculaires), comme dans l'article précédent.

Sur deux droites perpendiculaires à (AB), passant par G et Hon place deux points C et D de façon que (CD) soit parallèle à (AB), puis on construit un demi-cercle de centre E, de diamètre [CD]  et orienté vers (AB), comme sur la figure ci-contre.

Par un point F de [GH], on trace une perpendiculaire à (AB) qui coupe le demi-cercle en I, puis on trace la droite (EI) qui coupe (AB) en J.

Lorsque F se promène sur tout le segment [GH], alors J se promène sur toute la droite (AB), (sauf lorsque F se trouve en G et en H, car dans ce cas, (FI) // (AB) ), donc on a rangé par paires distinctes {F ; J} les points du segment ouvert ]G ; H[ et ceux de la droite (AB), donc  :

Un segment privé de ses extrémités possède autant de points qu'une droite !

(Étonnant non ?)

L'idée du demi-cercle m'est venue de la projection stéréographique dans le film "Dimensions" de Jos Leys, Aurélien Alvarez et Etienne Ghys.

Mathieu Morinière.
(Merci à GeoGebra).