vendredi 27 décembre 2013

Une introduction aux vecteurs


Un professeur a introduit les vecteurs de la manière suivante :

Il y a une centaine d'années, pour remonter le courant d'une rivière, les péniches étaient tirées par des chevaux le long des berges, comme sur le dessin ci-contre.








Le segment en pointillés rouges représente une corde, et les flèches représentent les forces exercées par la corde sur la péniche et par les chevaux sur la corde.






Comment faire pour que la péniche ne se retrouve pas sur la berge ?







Première réponse : en mettant des chevaux des deux côtés de la rivière, comme sur ce deuxième dessin.

L'inconvénient de cette solution est qu'elle empêche d'autres bateaux de dépasser la péniche ou bien de redescendre la rivière.













Deuxième réponse : en tournant le gouvernail pour diriger la péniche vers la gauche (vers babord), on voit que la force appliquée par le centre du gouvernail sur l'eau est la même que sur le dessin nº2 par les chevaux de babord, mais appliquée à l'arrière (la poupe) de la péniche, donc la péniche va tout droit.
















Une application plus récente de ce principe s'applique pour le déplacement des kitesurfs, où les chevaux sont remplacés par une voile et le gouvernail par la planche en travers pour résister à la dérive.

Mathieu Morinière.
(Merci à GeoGebra).

mercredi 18 décembre 2013

Une diagonale d'un carré




Dans le quartier de Manhattan (New York), où beaucoup de rues sont perpendiculaires, vaut-il mieux zig-zaguer de manière très fréquente, ou bien vaut-il mieux parcourir deux côtés d'un carré, pour rejoindre deux points diagonalement opposés ?







Ou encore, sur le dessin du carré ABCD ci-contre, quadrillé en 16 petits carrés, le trajet de A à C en ne suivant que deux segments, [AB] puis [BC] est-il plus long - ou plus court - qu'en parcourant successivement les segments [AE], [EF], [FG], [GH], et enfin [HC] ?



La réponse ? 


EF = BL, FG = EK, GH = LC et HC = KB        donc :
AE+EF+FG+GH+HC  =  AE+FG HC+EF GH  =  AE+EK+KB + BL+LC  =  AB + BC.

Les deux trajets ont la même longueur, AB + BC !!!


Et si maintenant nous quadrillons le carré initial en 64 carrés (un échiquier), ou en 100 carrés (un damier)... Ou en 324 carrés (un goban) ?

Le raisonnement reste le même - avec simplement plus de points intermédiaires : 
les deux trajets ont toujours comme longueur AB + BC (le double de la longueur d'un côté du carré ABCD initial).

Là où ce résultat devient plus troublant, c'est lorsque nous commençons à utiliser des quadrillages vraiment très fins du carré initial, en séparant chaque côté non plus en 4, 8,10 ou 18 segments, mais en 1000, 10000, 1 million...

Alors le chemin qui traverse le carré semble peu à peu se confondre avec la diagonale de
ce carré, ce qui peut laisser supposer que la longueur de cette diagonale est AB + CD !

Mais le théorème de Pythagore - et, bien plus simplement, une mesure, même imprécise, de la longueur d'un côté et de celle de la diagonale - nous montre bien que ce n'est pas vrai... 

... Et nous rappelle qu'il faut se méfier de raisonnements insuffisamment approfondis:)

Ici, le défaut du « raisonnement » est que tous les triangles observés restent rectangles :
il n'y a pas « d'aplatissement » de ces triangles vers la diagonale, quel qu'en soit le nombre.

(Si leurs sommets sont de plus en plus proches de la diagonale lorsque le nombre de triangles grandit, ce n'est pas parce qu'il y a déformation des triangles, et lorsqu'on « zoome » sur une petite partie de la diagonale, on retrouve exactement la configuration initiale !)

Et heureusement que ce « raisonnement » est défaillant :

sinon, il permettrait, par exemple, de prouver que 4 est égal à 2 !!!

(Si [AB] mesurait 1 cm, AB + BC vaudrait 2 cm, et d’après ce « raisonnement », [AC] mesurerait donc 2 cm :
le carré de AB vaudrait 1 cm2 (1x1 = 1) et celui de AC vaudrait 4 cm2 (2x2 = 4) … Mais d’après le théorème de Pythagore, ce même carré de AC vaudrait également 2 cm2 !)

(Nous avons tenté ici de donner une interprétation géométrique de la fausseté de ce raisonnement. Il en existe une démonstration purement numérique, mais elle nécessite des connaissances de niveau bac +1).

P. S. Yves C. nous a fait remarquer que la surface comprise entre le chemin et la diagonale se rapproche effectivement de 0, alors que le périmètre reste constant. (Ce phénomène se retrouve dans d'autres situations de niveau lycée).
.. 
Philippe Colliard et Mathieu Morinière




dimanche 1 décembre 2013

Un segment a-t-il plus de points qu'une droite ?

Nous allons ranger par paires distinctes les points d'une droite (AB) et ceux d'un segment [GH] (non perpendiculaires), comme dans l'article précédent.

Sur deux droites perpendiculaires à (AB), passant par G et Hon place deux points C et D de façon que (CD) soit parallèle à (AB), puis on construit un demi-cercle de centre E, de diamètre [CD]  et orienté vers (AB), comme sur la figure ci-contre.

Par un point F de [GH], on trace une perpendiculaire à (AB) qui coupe le demi-cercle en I, puis on trace la droite (EI) qui coupe (AB) en J.

Lorsque F se promène sur tout le segment [GH], alors J se promène sur toute la droite (AB), (sauf lorsque F se trouve en G et en H, car dans ce cas, (FI) // (AB) ), donc on a rangé par paires distinctes {F ; J} les points du segment ouvert ]G ; H[ et ceux de la droite (AB), donc  :

Un segment privé de ses extrémités possède autant de points qu'une droite !

(Étonnant non ?)

L'idée du demi-cercle m'est venue de la projection stéréographique dans le film "Dimensions" de Jos Leys, Aurélien Alvarez et Etienne Ghys.

Mathieu Morinière.
(Merci à GeoGebra).

samedi 30 novembre 2013

Un grand segment a-t-il plus de points qu'un petit ?

Philippe Colliard nous parle des points et des segments :
 

   Le segment [ABa-t-il plus de points que le segment [CD] ?

     Pour le savoir, rejoignons leurs extrémités par deux droites, qui se croisent en E.

     Traçons ensuite une droite passant par E, qui coupe les deux segments en F et G.

  Si F se promène sur l'un des deux segments, alors G se promène sur l'autre, et tous les points des deux segments sont ainsi  rangés par paires distinctes {F ; G}, donc :

les deux segments ont autant de points l'un que l'autre !

(Surprenant, non ?)


C'est une des raisons pour lesquelles un point n'est pas une tache, (si petite soit-elle).

D'après la revue "Tangente" de novembre 2013, ce résultat est dû à Galilée.

            Par analogie, dans la photographie suivantes, les traverses de chemin de fer ont (à peu près) la même longueur. Et pourtant, en perspective, plus elles sont loin, plus elles semblent petites.

Mathieu Morinière.
(Merci à GeoGebra).


mercredi 20 novembre 2013

Le collège et la bosse des maths

L'une des convictions les plus répandues dans notre société est que les mathématiques sont réservées à une élite génétiquement prédisposée… Et cette conviction est la cause d'innombrables frustrations, tant chez les élèves que chez leurs professeurs !

Dans le cadre du collège, cette affirmation est un mensonge aux conséquences gravement destructrices.
Entendons-nous : il est évident que tous les ados ne deviendront pas Evariste Galois ou des médaillés Fields...
Mais les mêmes ados ne deviendront pas tous non plus Arthur Rimbaud (ou Marguerite Yourcenar), ni des prix Nobel de littérature, et pourtant, ils ne passent pas leur temps à entendre - et a répéter - que le français, ce n'est vraiment pas leur truc, et que de toute façon, dans leur famille...

Encore une fois, il s'agit ici des mathématiques au collège !

De quoi un collégien a-t-il besoin pour maîtriser ces mathématiques là ?

Posons la question autrement : de quoi un collégien a-t-il besoin pour maîtriser le français au collège ?
De savoir lire, de connaître le sens des mots, d'avoir suffisamment de mémoire et d'imagination pour enregistrer une phrase et l'interpréter, d'avoir acquis un vocabulaire et une connaissance de la syntaxe suffisants pour, à son tour, composer des phrases qui sauront correctement traduire ses pensées... Et d'accepter de formuler lesdites pensées !

Et maintenant, reprenons : de quoi un collégien a-t-il besoin pour maîtriser les mathématiques au collège ?
De savoir lire, de connaître le sens des mots, d'avoir suffisamment de mémoire et d'imagination pour enregistrer une phrase et l'interpréter, d'avoir acquis un vocabulaire et une connaissance de la syntaxe suffisants pour, à son tour, composer des phrases qui sauront correctement traduire ses pensées... Et d'accepter de formuler lesdites pensées !

Quelle(s) différence(s) avec le français ?

Elles vont toutes dans un sens favorable aux maths :

les mots du vocabulaire mathématique qu'ils doivent maîtriser sont bien moins nombreux que ceux du français (une petite centaine de mots, contre plus de 2000).
La syntaxe des phrases mathématiques est bien plus simple, bien plus rigide, disons-le, bien plus pauvre que celle d'une phrase de français.
L'imagination nécessaire, même si elle est tout aussi fondamentale, ne s'applique qu'à peu de situations (quelques positions particulières de points, de lignes ou de surfaces simples, quelques configurations numériques...) alors qu'en français, l'imagination requise fait appel aux innombrables sujets de nos sociétés, du plus vaste au plus intime !

Parents, si vous lisez l'anglais, lisez cet article …Et sinon, cet article, qui vous en donnera l’esprit !

Parents, s'il vous plaît, arrêtez de « rassurer » vos enfants en leur expliquant combien vous étiez « nuls en maths » ! Si vous l'étiez, ce n'était pas une question de neurones ni de prédisposition quelconque, mais vraisemblablement parce qu'on vous demandait de disséquer des objets dont vous ne saviez pas vraiment ce qu'ils étaient : quelle qu'en soit la raison, vous en gardiez une définition beaucoup trop vague, trop floue, trop fausse - voire trop incomplète - pour pouvoir vous y intéresser.

Essayez de donner du sens à la phrase « je mange une barre de chocolat » si vous ne savez pas que le verbe est « mange » et pas « barre », que « je » n'est pas un « jeu », que « barre », dans ce contexte, n'est pas une longue tige d'acier et que « chocolat » n'est pas une couleur !

Parents, laissez une chance à vos enfants d'aimer les mathématiques : dites-leur que vous regrettez (même si ce n'est pas vrai !) de ne pas avoir eu la chance - ou la possibilité ? - d'en comprendre et d'en apprendre les mots suffisamment bien pour pouvoir jouer avec... Et insistez pour qu’ils prennent le temps, pour qu'ils fournissent l'effort, eux, de le faire.

Vous ne le regretterez pas, et eux non plus !

Un des cris du cœur que je préfère, lorsque je reviens avec un élève a priori rétif sur une définition, une situation, un raisonnement : « C’est juste ça ? Ben, finalement, c’est facile ! »

Philippe Colliard.

vendredi 1 novembre 2013

L'âge du lecteur


Quels sont les prérequis nécessaires pour pouvoir lire ce livre ?

Cette question m'exaspère. Elle peut avoir du sens pour un manuel ou pour un cours. Elle peut également en avoir pour une nouvelle ou un roman dont l'intrigue suppose la connaissance d'une société. Elle peut certainement en avoir dans de nombreuses autres circonstances...
Mais pour une construction axiomatique de la géométrie ? Une construction qui part du sol lui-même ? Une construction qui définit patiemment chacun des objets, chacun des mots qu'elle utilise - uniquement à partir des objets et des mots qu'elle a déjà définis - et du langage courant ?

Pour lire ce livre, les seuls prérequis sont : savoir lire et l'aborder avec curiosité.

Oui, un enfant de 12 ans peut lire ce livre et en tirer profit.
Pas d'une traite, bien sûr, et pas tout ! Mais suffisamment pour s'y intéresser.

Avant que notre société ait inventé les « romans à consommer » - romans pour 10 ans, romans pour 14 ans - les écrivains écrivaient pour écrire avant d'écrire pour vendre. Et si leurs ouvrages étaient intéressants, ils se vendaient. De « 7 de à 77 ans », disait « le journal de Tintin ». A l'époque, 77 ans, c'était le bout du monde !

Un enfant de 12 ans a-t-il un esprit critique suffisamment développé et une culture suffisante pour disséquer et critiquer tous les éléments d'un livre de Jules Verne ou de Rudyard Kipling ? Non, certainement. Et pourtant, viendrait-il à qui que ce soit l'idée de leur déconseiller la lecture de « 20 000 lieux sous les mers », de « l'île mystérieuse », des « histoires comme ça » ou de « Kim » (sans parler du « livre de la jungle ») ?

Entendons-nous : je ne suis pas un grand écrivain. Je n'arrive pas à la cheville - que dis-je, au talon ! - de Verne ou de Kipling, et j'admire leurs œuvres (sans, bien souvent, partager leurs idées)...
Mais commencer à les lire, s'intéresser à ce qu'ils racontent, exige bien plus de connaissances que d'aborder «… Donc, d'après... »

Ayant précisé cela, je dois peut-être maintenant préciser que,
ne voulant pas voir ce livre catalogué « pour grands »,
je ne veux bien sûr pas non plus le voir catalogué « pour petits » :

il est le résultat de dizaines d'années de réflexion et de recherches, de plus de quatre ans d'écriture. Si je l'ai écrit dans un langage accessible à des enfants de 12 ans, il s'agit, à ma connaissance, du premier ouvrage à proposer une construction intégralement démontrée de la géométrie élémentaire : j'espère que mes collègues seront nombreux à le lire, à s'y intéresser, à le critiquer - pour mon ego, de préférence en bien, mais les critiques négatives elles-mêmes ont leur intérêt !

J'espère également que des adultes qui ne sont pas des professionnels de l'enseignement y trouveront leur compte... Ne serait-ce que pour aider leurs enfants à s'affranchir de l'idée extrêmement courante mais totalement fausse et nocive qu'il faut avoir « la bosse des maths » pour réussir ses études secondaires.

Cela, c'est une autre histoire, et j'y reviendrai dans un prochain article.

Philippe Colliard.