dimanche 1 janvier 2017

2017, en gris



Bonjour à tous,

Et merci d’être encore là.

Je suis désolé, je devrais rire, chanter,
c’est la nouvelle année.

Mais je n’y arrive pas. Trop d’horreurs,
trop de laideur, trop de bêtise tragique m’inquiètent,
trop de choix récents menacent de conséquences dramatiques.

Alors, ne m’en veuillez pas si cette courte nouvelle
n’est pas particulièrement optimiste : 


Je nous souhaite à tous une année 2017
meilleure que ce qu’elle laisse envisager.

Philippe Colliard

PS :   je vous parlerai bientôt à nouveau de maths,
         avec, je l’espère, un peu plus d’enthousiasme.

dimanche 18 décembre 2016

Triangles égaux, triangles semblables


Chers amis,

je me permets de vous transmettre un article d'Alexandre Carret :


--- Citation ---
Comme je n'hésite pas à interpréter librement les programmes (grâce à mon bouclier de liberté pédagogique), je fais de grands arrêts sur la notion de démonstration géométrique :

en particulier, j'insiste dans un premier temps sur les arrières-plans mentaux - la vision du monde - construits et discutés par les hommes  (depuis les grecs pour faire simple) et qui les a conduit à entrevoir les notions de cause, de conséquence, de syllogisme, de science,  d'expérience, etc. (par exemple, je leur dis que nous ne discuterons jamais du "beau" en mathématiques.


D'une part parce qu'il s'agit d'une  catégorie mal définie, socialement, culturellement et temporellement  variable et d'autre part qu'il ne s'agit pas d'une catégorie à travers laquelle le mathématicien pense le monde (heureusement, nous ne sommes pas que mathématiciens) : je décroche alors des murs de ma salle "Cygnes se reflétant en éléphants" et "Drawing hands" pour leur expliquer ce qui m'intéresse dans ces œuvres tout en étant persuadé que leur professeur d'arts plastiques leur en parlerait bien autrement (1)).




Par conséquent, j'oriente tout mon discours sur la géométrie autour de l'idée que tout théorème est démontrable sauf les tout premiers que l'on appelle postulats :


Je dois un grand merci à Philippe Colliard de m'avoir ouvert les yeux sur cette liste et dans son livre sur le fait que nous n'avions pas, au collège, à être jusqu’au-boutiste (chercher le minimum de postulats à poser pour démontrer nos théorèmes) et qu'au contraire poser des postulats forts (comme les égalités de triangles) tout en disant qu'un jour peut-être, dans quelques années, on réfléchirait à construire le plus petit noyau de postulats.


Cette découverte m'a libéré : je ne cherchais plus, en mathématicien, à réduire le nombre des postulats mais en prof de collège à trouver le noyau de postulats suffisant pour ne pas avoir à rentrer dans des considérations difficiles (voire contestables : certaines démonstrations d'Euclide ont fait l'objet de nombreux commentaires à travers les siècles).


Les égalités de triangles sont depuis lors omniprésentes dans mon discours (par exemple, pour démontrer dans les deux sens la relation entre symétrie centrale et parallélogramme - alors qu'avant, avec mes petits postulats euclidiens, je passais vite là-dessus car la montagne me semblait bien trop haute à franchir pour mes élèves).


Je précise que, la plupart du temps, ces démonstrations sont exposées à l'oral, parfois écrites dans le cahier et rarement, je leur demande de me les reformuler. Elles servent plutôt à construire le récit que je tente de leur exposer sur la nature et la structure des résultats géométriques avec lesquels il faut se familiariser au collège.

A eux, je ne demande que des démonstrations plus simples car paradoxalement, ces théorèmes-postulats, bien que premiers dans la théorie, sont difficiles à utiliser dans des démonstrations en autonomie (contrairement, par exemple, au théorème "les diagonales d'un losange sont perpendiculaires" dont l'intuition est forte chez les élèves et l'usage dans les démonstrations relativement aisé - alors même que la démonstration que je leur en propose s'appuie sur des égalités de triangles).


Amicalement,
-- 

Alexandre Carret.


(1) Non merci, pas d'EPI là-dessus non plus !

--- Fin de citation ---

Merci encore une fois à Alexandre Carret, qui a exprimé (plus habilement que moi) ce que je pensais sur ce sujet.

P.S. Roland Dassonval a publié une démonstration intéressante du théorème de Ptolémée

--- Citation ---

--- Fin de citation ---

P.P.S. Mes sincères condoléances à la famille et aux amis de Rudolf Bkouche, qui a passé beaucoup de temps de sa retraite à discuter avec des profs sur Internet pour améliorer l'enseignement des mathématiques.


Amicalement,

-- 
Mathieu Morinière.

dimanche 18 septembre 2016

Bis repetita placent : VOTEZ !


La première fois que je vous ai parlé du prix Tangente,
c'était le 15 septembre 2014 … Et c'était très intéressé :


La deuxième fois, c'était en novembre (2014, toujours !) :


La troisième fois, c'était l'an dernier... Et avec un immense plaisir :


Le moment est venu d'une quatrième intervention :)

Mais peut-être ne connaissez-vous toujours pas les éditions Pole,
le magazine Tangente - ou son petit frère, Tangente éducation ?

Permettez-moi de reprendre ici quelques mots de mon article de septembre 2014 :

flânez sur leur site, découvrez le portail http://www.infinimath.com/ .

Les éditions Pole sont une mine d'or pour les professeurs comme pour les élèves.
Elles sont uniques, incontournables !

Et chaque année, elles décernent un prix, le « prix Tangente », à l'un des livres parlant de mathématiques et jugé digne, au cours de l'année écoulée, d'une « note de lecture » dans Tangente ou dans Tangente éducation.

Le Prix Tangente :
un premier vote, par tous les internautes qui le désirent (et qui acceptent de s’inscrire : ça prend 2 minutes et c’est gratuit), pour déterminer les « nominés »...
Puis un jury de personnalités pour le choix final.

S'il vous plaît, inscrivez-vous... S'il vous plaît, votez !

… Depuis 2014, le prix Tangente a fait des petits,
mais les éditions Pole vous l'expliqueront mieux que moi :


Alors... Votez :


Merci de votre fidélité à ce blog, et peut-être à bientôt

Philippe Colliard

jeudi 15 septembre 2016

Somme des cubes

On peut démontrer (par récurrence, niveau Terminale S) l'égalité suivante,
vraie pour tout entier n :




Une preuve sans mots de cette égalité a été proposée en 1984 par Solomon Colomb :


la "preuve sans mots", pour  n = 4 ...

... Et maintenant, tout de même, quelques mots d'éclaircissement :


     le rang supérieur du dessin est constitué de 4 carrés, dont les côtés mesurent (de gauche à droite) 1 unité de longueur, puis 2, puis 3 et enfin 4.
Appelons "carré 1", "carré 2" , "carré 3" et carré 4" ces 4 carrés, dans cet ordre.
Les aires de ces carrés sont donc les carrés de 1 , 2 , 3 et 4.

L'astuce de la preuve consiste à décomposer le grand carré (dont le côté mesure  1+2+3+4 unités de longueur - et dont l'aire est donc le carré de cette mesure) en un ensemble de surfaces adjacentes dont la somme des aires est  
1x(aire carré 1) + 2x(aire carré 2) + 3x(aire carré 3) + 4x(aire carré 4)
 ... C'est à dire la somme des cubes de  1 , 2 , 3 et 4 !

Pour les "carrés impairs"  (carré 1 et carré 3), aucune difficulté, et vous voyez bien apparaître 
1 "carré 1" et 3 "carrés 3" (le 2ème sous le 1er, le 3ème à gauche du 2ème).

Pour les "carrés pairs", une petite manipulation est nécessaire  : le 2ème "carré 2" est décalé d'un cran en dessous et à gauche du 1er, et le 3ème "carré 4" de 2 crans en dessous et à gauche du 2ème (alors que, comme pour les carrés impairs, le 2ème "carré 4" est juste en dessous du 1er, et le 4ème juste à gauche du 3ème).
Les 2 "carrés 2" recouvrent donc 2 fois une même surface carré  (d'une unité de côté),
et les 2ème et 3ème "carrés 4" également (de deux unités de côté).

Mais il suffit d'imaginer  qu'on "fait glisser" la surface en trop suivant la diagonale descendante (vers le bas et la droite) d'un cran pour les "carrés 2" et de 2 crans pour les "carrés 4" pour combler les 2 trous qui restaient dans le grand carré... Et le tour est joué !

Joli, non ?

Sans commentaires, maintenant,  pour  n = 6  :

Comme la construction géométrique suit le même schéma, elle pourra être appliquée à n'importe quel entier positif non nul !


(Source : "Jeux mathématiques et mathématiques des jeux", Jean-Paul Delahaye, Pour la Science)
-- 
Philippe Colliard et Mathieu Morinière